Модуль и аргумент комплексного числа

Длина вектора, изображающего комплексное число, называется модулем этого комплексного числа. Модуль всякого комплексного числа, не равного нулю, есть положительное число. Модуль комплексного числа a + bi обозначается |a + bi|, а также буквой r. Из чертежа (фиг. 5) видно, что

(1)

Модуль действительного числа совпадает с его абсолютным значением. Сопряженные комплексные числа а + bi и a - bi имеют один и тот же модуль.

Примеры 1. Модуль комплексного числа 3 + 5i (т.е. длина вектора ОА, фиг. 4) равен

2.

3.

4. Модуль числа – 7 (т.е. -7 + 0i) есть длина вектора ОМ (фиг. 4). Эта длина выражается положительным числом 7, т.е.

5. Модуль числа – 4i (длина вектора ON, фиг. 4) равен 4.

6. Модуль числа – 6 – 2i (длина вектора ОС, фиг. 4) равен Модуль числа – 6 + 2i (длина вектора OC' фиг. 4) также равен . Два сопряженных комплексных числа всегда имеют равные модули.

Угол φ между осью абсцисс и вектором ОМ, изображающим комплексное число а + bi, называется аргументом комплексного числа а + bi.

На фиг. 6 вектор OM изображает комплексное число -3 -3i. Угол являемся аргументом этого комплексного числа.

Каждое не равное нулю комплексное число* имеет бесчисленное множество аргументов, отличающихся от друга на целое число полных оборотов (т. е. на 360°k где k — любое целое число).

Так, аргументами комплексного числа – 3 – 3i являются все углы вида 225° ± 360°k, например 225° + 360° = 585°, 225° - 360° = - 135°.

Аргумент φ связан с координатами комплексного числа а + bi следующими формулами (фиг. 5):

, (1)    , (2)    (3)

Однако ни одна из них в отдельности не позволяет найти аргумент по абсциссе и ординате (см. примеры).

Пример 1. Найти аргумент комплексного числа - 3 – 3i.

По формуле (2)tgφ = -3/-3 = 1. Этому условию удовлетворяют как угол 45˚, так и угол 225˚. Но угол 45˚ не является аргументом числа - 3 – 3i. (фиг. 6). Правильный ответ будет φ = 225˚ (или —135˚, или 585˚ т. д.). Этот результат получится если учесть, что абсцисса и ордината данного комплексного числа отрицательны. Значит, точка M лежит в третьей четверти.

Другой способ. По формуле (3) находим Формула (4) показывает, что sin φ тоже отрицателен. Значит, угол φ принадлежит третьей четверти, так что φ = 225˚ ± 360˚k.

Пример 2. Найти аргумент комплексного числа - 2 + 6i. Находим tg φ = 6/-2 = -3. Так как абсцисса отрицательна, а ордината положительна, то угол φ во второй четверти. С помощью таблиц находим φ ≈ 180˚ - 72˚ = 108˚. См. фиг. 4, где точка В изображает - 2 + 6i.

Наименьшее по абсолютной величине значение аргумента называется главным. Так, для комплексных чисел -3 -3i, 2i, - 5i главные значения аргумента равны 135˚, + 90˚, - 90˚.

Аргумент действительного положительного числа имеет главное значение 0˚; для отрицательных чисел главным значением аргумента принято считать 180˚ (а не - 180˚). У сопряженных комплексных чисел главные значения аргумента имеют одни и те же абсолютные значения, но противоположные знаки. Так, главные значения аргумента чисел – 3 + 3i и – 3 - 3i равны 135˚ и - 135˚.

*Для числа 0 аргумент остается совершенно неопределенным.