О комплексных числах

В связи с развитием алгебры потребовалось ввести сверх прежде известных положительных и отрицательных чисел числа нового рода. Они называются комплексными.
Комплексное число имеет вид а +bi; здесь а и b - дейcтвительные числа, а i - число нового рода, называемое мнимой единицей. «Мнимые» числа составляют частный вид комплексных чисел (когда a = 0). C другой стороны, и действительные (т. е. положительные и отрицательные) числа являются частным видом комплексных чисел (когда b = 0).
Действительное число а назовем абсциссой комплексеного числа а +bi; действительное число b - ординатой комплексного числа а+bi. Основное свойство числа i состоит в том, что произведение i*i равно - 1, т. е.

i² = -1. (1)
Долгое время не удавалось найти такие физические величины, над которыми можно выполнять действия, подчиненные тем же правилам, что и действия над комплексными числами - в частности правилу (1). Отсюда названия: «мнимая единица», «мнимое число» и т. п. В настоящее время известен целый ряд таких физических величин, и комплексные числа широко применяются не только в математике, но также в физике и технике (теория упругости, электротехника, аэродинамика и др.).
В следующих разделах дано геометрическое истолкование комплексных чисел. Предварительно устанавливаются правила действий над ними; при этом оставляется в стороне вопрос о геометрическом или физическом смысле числа i, потому что в разных областях науки этот смысл различен.
Правило каждого действия над комплексными числами выводится из определения этого действия. Но определения действий над комплексными числами не вымышлены произвольно, а установлены с таким расчетом, чтобы они согласовывались с правилами действий над вещественными числами. Ведь комплексные числа должны рассматриваться не в отрыве от действительных, а совместно с ними.