Ферма малая теорема

Знаете ли вы об удивительном свойстве, которым обладают числа, составленные из одних девяток? Каково бы ни было простое число р, отличное от 2 и 5, всегда можно указать такое число, составленное из одних девяток - 9999...99,-что оно будет делиться на р. Так, на 3 делится 9, на 7 - число 999 999, на 11 - число 99, на 13 - опять-таки число 999999. Чтобы получить число, делящееся на 17, придется взять число из 16 девяток, на 19-число из 18 девяток. И всегда можно быть уверенным, что нужное число найдется, хотя и может оказаться очень длинным.

На чем основано доказательство этого факта? Дело в том, что при делении с остатком на р может встретиться конечное число различных остатков: 0, 1, 2, ..., р — 1. Поэтому найдутся два числа из девяток (пусть одно - из l девяток, а другое - из m девяток, l > m), такие, что оба они при делении на р дают один и тот же остаток. Тогда число из l — m девяток будет делиться на р. Заметим, что обсуждаемое утверждение равносильно тому, что для всякого простого р, не равного 2 и 5, существует число вида 1000...00 (единица с нулями), дающее при делении на простое число р остаток 1. Это очень важное утверждение. На нем основана, например, периодичность бесконечной десятичной дроби, полученной при обращении обыкновенной дроби 1/р, где р ≠ 2 и р ≠ 5 (если выписывать последовательные десятичные знаки при делении 1 на р, то с некоторого места они начнут периодически повторяться).

Другая связь имеется с признаками делимости. Признак делимости на 3 основывается на том, что 9 делится на 3. Для того чтобы узнать, делится ли на 11 число А = a_na_n-1... a₂a₁, достаточно разбить его на двузначные числа справа налево: a₂a₁, a₄a₃, ... (последнее число может оказаться однозначным), сложить эти числа, и если полученная сумма делится на 11, то на 11 делится и A, а если не делится, то и A не будет делиться. Этот признак делимости основывается на том, что 99 делится на 11. Аналогичный признак делимости с разбиением на трехзначные числа имеется для 37. Такие признаки делимости можно построить для всех простых чисел p, не равных 2 и 5, но они могут оказаться неудобными.

Естественно попытаться уточнить, сколько же в точности девяток надо взять, чтобы получилось число, делящееся на p. Оказывается, что всегда годится число, состоящее из p - 1 девяток. Однако иногда достаточно и меньшего числа, но всегда это наименьшее число девяток l является делителем p - 1. До сих пор не известен ответ на вопрос, волновавший еще Гаусса: конечно или бесконечно число таких p, для которых l = p - 1 (так обстоит дело для p = 7, 17, 19, 23, 29, 47, ...).

Утверждение о делимости чисел, составленных из девяток, является частным случаем значительно более общего утверждения, носящего название малой теоремы Ферма: если p-простое число, a-натуральное число, не делящееся на p, то a^р-1 при делении на p дает остаток 1 (утверждение о девятках получается при a = 10). «Меня озарило ярким светом», — писал Ферма, впервые сообщая об этом своем открытии в письме (1640). В самом деле, эта теорема стала одним из самых фундаментальных фактов в теории делимости натуральных чисел. Ферма не оставил доказательства теоремы, и первое известное доказательство принадлежит Л. Эйлеру. В заключение дадим формулировку этой теоремы, не содержащую ограничений на число а: если p-простое число, а-натуральное число, то а^р - а делится на p.