Диофантовы уравнения
Диофантовыми уравнениями называют алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, для которых надо найти целые или рациональные решения. При этом число неизвестных в уравнениях должно быть не менее двух (если не ограничиваться только целыми числами). Диофантовы уравнения имеют, как правило, много решений, поэтому их называют неопределенными уравнениями. Это, например, уравнения:
Зх + 5у = 7; х2 + у2 = z2; Зх3 + 4у3 = 5z3.
Названы они по имени греческого математика Диофанта, жившего в III в. Его книга «Арифметика» содержала большое количество интересных задач, ее изучали математики всех поколений. Книга сохранилась до наших дней, ее можно найти и в русском переводе.
Задачи поиска целочисленных и рациональных решений обычно тесно связаны между собой. Легко сообразить, какая связь есть между целочисленными решениями уравнения Зх3 + 4у3 = 5z3 и рациональными решениями уравнения
| 3 | u3 + | 4 | v3 = 1 (u = | x | , v = | y | ). |
| 5 | 5 | z | z | ||||
К диофантовым уравнениям приводят задачи, по смыслу которых неизвестные значения величин могут быть только целыми числами.
Решение уравнений в целых числах - очень увлекательная задача. С древнейших времен накопилось много способов решения конкретных диофантовых уравнений, однако только в нашем веке появились общие приемы их исследования. Правда, линейные диофантовы уравнения и диофантовы уравнения 2-й степени научились решать давно.
Так, легко доказать, что по формулам x = 4 + 5t, y = - 1 - 3t (t-любое целое число) находятся все целочисленные решения уравнения Зх + 5у = 7. Формулы для нахождения целочисленных сторон прямоугольного треугольника (т. е. для решения уравнения х2 + у2 = z2) были известны еще древним индийцам: х = 2uv, y = u2 — v2, z = u2 + v2 (и и v-целые числа, u > v).
Решения диофантовых уравнений более высоких степеней, а также систем уравнений давались с большим трудом. Знаменитое уравнение П. Ферма, которое более трехсот лет назад он написал на полях «Арифметики» Диофанта, хn + уn = zn (n > 2) не решено до сих пор (см. Ферма великая теорема).
Даже при n = 3 диофантовы уравнения поддаются решению с большим трудом, причем ответы могут быть совершенно разными. Так, уравнение Зх3 + 4y3 = 5z3 совсем не имеет решений в целых числах, кроме нулевого. Уравнение х3 + у3 = 2z3 имеет конечное число решений в целых числах, которые легко найти. Уравнение х3 + у3 = 9z3 имеет бесконечно много целочисленных решений, однако написать для них формулы далеко не просто.
Правда, оказалось, что кубические уравнения стоят в некотором смысле особняком. В 20-е гг. нашего века английский математик Е. И. Морделл высказал гипотезу, что уравнение более высокой степени, чем 3, должно иметь, как правило, конечное число целочисленных решений. Эта гипотеза была в 1983 г. доказана голландским математиком Г. Фалтингсом. Тем самым подтвердилось, что уравнение Ферма хn + уn = zn при всяком n > 2 имеет лишь конечное число решений в целых числах (без общих множителей). Однако пока нет способа найти эти решения.
Долгое время надеялись отыскать общий способ решения любого диофантова уравнения. Однако в 1970 г. ленинградский математик Ю. В. Матиясевич доказал, что такого общего способа быть не может.
Решение уравнений в целых числах - один из самых красивых разделов математики. Ни один крупный математик не прошел мимо теории диофантовых уравнений. Ферма, Эйлер и Лагранж, Дирихле и Гаусс, Чебышев и Риман оставили неизгладимый след в этой интереснейшей теории.