Действия с одночленами; сложение и вычитание многочленов
Одночленом называется произведение двух или нескольких сомножителей, каждый из которых есть либо число, либо буква, либо степень буквы. Например, 2d, a3b, 3abc, - 4х2у3 - одночлены. Отдельно взятое число или отдельно взятая буква тоже может рассматриваться как одночлен.
Любой из сомножителей одночлена можно назвать его коэффициентом. Часто под коэффициентом понимают числовой множитель (например, в выражении - число - 4х2у3 - 4 есть коэффициент). Выделяя один из множителей в качестве коэффициента, хотят подчеркнуть, что одночлен получился в результате умножения всей остальной части на этот коэффициент. Выделяя числовой множитель в качестве коэффициента, мы подчёркиваем, что основную роль играет буквенное выражение, которое повторяется слагаемым некоторое число раз или дробится на доли.
Одночлены называются подобными, если они одинаковы, или отличаются только коэффициентами. Отсюда, видно, что две одночлена можно считать и подобными и неподобными, смотря по тому, что считается их коэффициентами. Если коэффициентами считать числовые множители, то подобными одночленами будут такие, у которых одинаковы буквенные части. Например, одночлены ах2у2, bх2у2, сх2у2 подобны, если считать коэффициентами а, b, с; одночлены 3х2у2, - 5х2у2, 6х2у2 подобны, если считать коэффициентами числовые множители.
Сложение одночленов. Сложение двух или нескольких одночленов, вообще говоря, можно только обозначить; до того как вместо букв мы возьмем какие-нибудь числа, сумма одночленов, как правило, не приводится к более простому виду. Ее можно преобразовать к более простому виду лишь тогда, когда среди слагаемых имеются подобные: вместо этих членов напишется подобный им член, коэффициент которого равен сумме их коэффициентов. Эта замена называется приведением подобных членов.
Пример
3x2y2-5x2y2+6x2y2=4x2y2.
Пример
ах2у2 - bх2у2 + сх2у2 = (а - b + с) х2у2
Пример
4х3 у2 - 3 х2 у2 - 2 х3 у2 + 6х2у2 + 5ху = 2х3у2 +3x2у2 + 5ху
Вынесение за скобку
Действие, совершенное в примере 2, называется вынесением за скобки; говорят, что х2у2 «вынесено за скобки». По существу вынесение за скобки - то же самое, что приведение подобных членов.
Многочлен
Сумма одночленов называется многочленом. Сложение двух или нескольких многочленов есть нечто иное, как образование нового многочлена, включающего в себя все члены всех взятых многочленов.
Вычитание многочлена есть не что иное, как прибавление многочлена, члены которого образованы из членов взятого многочлена переменой знака на обратный.
Пример
(одинаковым числом черт снизу обозначены подобные члены).
Умножение одночленов
Умножение одночленов, вообще говоря, можно только о6озиачить, (ср. сказанное выше о сложении одночленов). Произведение двух или нескольких одночленов можно упростить лишь в том случае, когда в них входят некоторые степени одних и тех же букв или числовые коэффициенты; показатели степеней у соответствующих букв складываются; числовые коэффициенты перемножаются.Пример
5ax2y5 (-3a3x4z) [сложены показатели степени буквы а (1 + 3 = 4) и буквы х (2+4 = 6)].
Деление одночленов
Деление одночлена на одночлен», вообще говоря, можно только обозначить. Частное двух одночленов можно упростить, если делимое и делитель содержат некоторые степени одних и тех же букв или числовые коэффициенты; показатель степени делителя вычитается из показателя степени делимого; числовой коэффициент делимого делится на числовой коэффициент делителя.Пример
12x3y4z5:4x2yz2=3xy3z3 [вычтены показатели степени буквы х (3-2= 1), буквы у (4-1= 3) и буквы z (5-2=3)].
Замечание 1. Если показатели степени у некоторой буквы в делимом и делителе одни и те же, то в частное эта буква не войдет (деленная сама на себя, она даст единицу). Произведя вычитание показателей степеней, мы получили бы 0. Поэтому мы должны принять, что нулевая степень любого числа есть число 1.
Пример
4x2y3:2x2y= 2x0y2 = 2y2 (x0 = 1)
Замечание2. Если показатель степени какой-нибудь буквы в делимом меньше, чем показатель степени той же буквы в делителе, то вычитание дает отрицательную степень этой буквы. Подробнее об отрицательных степенях см. III, 61. Результат можно представить также в виде дроби; тогда можно обойтись без отрицательной степени.
Пример
10х2у5 : 2х6у4 = 5x-4y = 5y/x4(x-4 = 1/x4)