Вектор

Вектор - одно из основных геометрических понятий. Вектор характеризуется числом (длиной) и направлением. Наглядно его можно представить себе в виде направленного отрезка, хотя, говоря о векторе, правильнее иметь в виду целый класс направленных отрезков, которые все параллельны между собой, имеют одинаковую длину и одинаковое направление (рис. 1). Примерами физических величин, которые имеют векторный характер, могут служить скорость (поступательно движущегося тела), ускорение, сила и др.

Понятие вектора появилось в работах немецкого математика XIX в. Г. Грассмана и ирландского математика У. Гамильтона; затем оно было охотно воспринято многими математиками и физиками. В современной математике и ее приложениях это понятие играет важнейшую роль. Векторы применяются в классической механике Галилея -Ньютона (в ее современном изложении), в теории относительности, квантовой физике, в математической экономике и многих других разделах естествознания, не говоря уже о применении векторов в различных областях математики.

Каждый из направленных отрезков, составляющих вектор (рис. 1),

можно назвать представителем этого вектора. Вектор, представителем которого является направленный отрезок, идущий от точки А к точке В, обозначается через

.

На рис. 1 имеем , т.е. АВ и CD -это один и тот же вектор (представителями которого являются оба направленных отрезка,выделенных на рис. 1). Иногда вектор обозначают малой буквой со стрелкой:. Вектор, изображаемый направленным «отрезком», у которого начало и конец совпадают, называется пулевым; он обозначается

т.е.

Два параллельных вектора, имеющих одинаковые длины, но противоположные направления, называются противоположными. Если вектор обозначен через , то противоположный ему вектор обозначается через Назовем основные операции, связанные с векторами.

1. Откладывание вектора от точки. Пусть - некоторый вектор и А - точка. Среди направленных отрезков, являющихся представиелями вектора , имеется направленный отрезок, начинающийся в точке А.Конец В этого направленного отрезка называется точкой, получающейся в результате откладывания вектора от точки А (рис. 2).

Эта операция обладает следующим свойством:

1.1 Для любой точки А и любого вектора существует, и притом только одна, точка В, для которой .

Сложение векторов. Пусть и два вектора. Возьмем произвольную точку А и отложим вектор от точки А, т.е. найдем такую точку В, что (рис. 3).

Затем от точки В отложим вектор , т.е. найдем такую точку С, что ВС = Ь. Вектор А'С называется суммой векторов и и обозначается через . Можно доказать, что сумма не зависит oт выбора точки А, т.е. если заменить А другой точкой A1, то получится вектор , равный (рис. 3). Из определения суммы векторов вытекает, что для любых трех точек А, В. С справедливо равенство

1.2

("правило трех точек"). Если ненулевые векторы и не параллельны, то их сумму удобно находить с помощью правила параллелограмма (рис. 4).