Периодическая дробь

Периодическая дробь - это бесконечная десятичная дробь, в которой, начиная с некоторого места, периодически повторяется определенная гуппа цифр. Например, 2,51313... Обычно такую дробь записывают короче: 2,5(13), т.е. помещают повторяющуюся группу цифр в скобки и говорят "13 в периоде". Примером непериодической бесконечной дроби может служить дробь 0,1010010001..., у которой количество нулей между единицами все время увеличивается на 1, а также дробь, представляющая собой любое другое иррациональное число, например √3. Если в периодической дроби повторяющаяся группа цифр расположена непосредственно после, запятой, то такую дробь называют чистой, в противном случае - смешанной. Всякую периодическую дробь можно обратить в обыкновенную, т.е. Периодические дроби являются числами рациональными. Чистая периодическая дробь, меньшая 1, равна такой правильной обыкновенной дроби, в числителе которой стоит период, а в знаменателе - число, изображенное цифрой 9, которая написана столько раз, сколько цифр в периоде.

Так, 0,(12) = 12/99 =4/33. Теперь нетрудно обратить в обыкновенную дробь любую периодическую дробь. Покажем, как это делается на примере:

3,1(3) = 3 + 0,1 + 0,0(3) = 3 + 1/10 + 1/10 * 3/9 = 47/15.

Вывод этого правила основан на формуле бесконечно убывающей геометрической прогрессии. При решении обратной задачи (обращения обыкновенной дроби в десятичную) всегда получается либо конечная дестичная дробь, либо периодическая. При этом конечная десятичная дробь получается тогда, когда знаменатель несократимой обыкновенной дроби не содержит никаких простых множителей, кроме 2 и 5; чистая периодическая - когда знаменатель несократимой обыкновенной дроби не делится ни на 2, ни на 5; во всех остальных случаях получается смешанная периодическая дробь.