Определитель
Определитель - число, поставленное по определенным правилам в соответствие квадратной матрице.
Определителем квадратной матрицы второго порядка называют число
| A | = | a11 | a12 |
| a21 | a22 |
a11a22 - a12a21
Его обозначают det А, или
| a11 | a12 |
| a21 | a22 |
Часто вместо слова «определитель» говорят «детерминант», откуда и взялось указанное обозначение.
Определитель третьего порядка определим через определители второго порядка:
| a11 | a12 | a13 | ||||||||||
| a21 | a22 | a23 | = | a11 | a22 | a23 | -a12 | a21 | a23 | +a13 | a21 | a22 |
| a31 | a32 | a33 | a32 | a33 | a31 | a33 | a31 | a32 | ||||
Здесь первые множители в знакочередующейся сумме-числа первой строки, а вторые множители-определители матриц, полученных вычеркиванием строки и столбца, которым принадлежит первый множитель.
Порядок определителя можно увеличивать и дальше. Пусть определены определители матриц вплоть до (n — 1)-го порядка. Определителем матрицы n-го порядка
| A | = | a11 | a12 | ... | a1n |
| a21 | a22 | ... | a2n | ||
| .. | .. | .. | .. | ||
| an1 | an2 | ... | ann |
назовем число
| det A | = | a11 | a22 | a23 | ... | a2n | -a12 | a21 | a23 | ... | a2n | +...+(-1)n+1a1n | a21 | a22 | ... | a2(n-1) | , |
| .. | .. | .. | .. | .. | .. | .. | .. | .. | .. | .. | .. | ||||||
| an2 | an3 | ... | ann | an1 | an3 | ... | ann | an1 | an2 | ... | an(n-1) |
где вновь имеем знакочередующуюся сумму произведений, в которых один из множителей-элемент первой строки, а другой-определитель матрицы (n — 1)-го порядка, полученной вычеркиванием той строки и того столбца, которым принадлежит первый множитель.
Вычислим, например, определитель третьего порядка:
| 3 | 2 | 1 | = 3 | - 2 | + 1 | = 3(5*3 - (-7)(-1)) - 2(4*3 - (-7)*2) + 1(4(-1) - 5*2) = 24 - 52 - 14 = -42 | ||||||
| 4 | 5 | -7 | 5 | -7 | 4 | -7 | 4 | 5 | ||||
| 2 | -1 | 3 | -1 | 3 | 2 | 3 | 2 | -1 | ||||
Определители играют важную роль в решении систем линейных уравнений.
Любопытно, что если составить из координат двух векторов а = (a1, a2) и b = (b1, b2) определитель
| a1 | a2 |
| b1 | b2 |
то его величина, с точностью до знака, равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах (рис. 1),
а для трех векторов в пространстве а = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3), с = (c1, c2, c3) определитель
| a1 | a2 | a3 |
| b1 | b2 | b3 |
равен, опять с точностью до знака, объему параллелепипеда, построенного на этих векторах (рис. 2).
