Асимптота
  

Асимптота

Асимптота кривой - это прямая, к которой кривая приближается сколь угодно близко при удалении в бесконечность. Представьте себе мчащийся по прямолинейному шоссе автомобиль и всадника, скачущего по полю с той же скоростью, но направленной в каждый момент на автомобиль. Маршрут всадника в этом случае будет кривой линией, называемой трактрисой, для которой линия шоссе является асимптотой. Если кривая, заданная уравнением у =f(х), удаляется в бесконечность при приближении х к конечной точке а, то прямая х = а называется вертикальной асимптотой этой кривой. Такими асимптотами являются прямая х = 0 для гиперболы у = 1/х, каждая из прямых

x = kп (k = 0, 1, 2, ...) для функции y = ctgx (рис. 1).

Помимо вертикальной асимптоты х = 0 гипербола у = 1/х имеет еще и горизонтальную асимптоту у = 0, как и график функции
, однако он, в отличие от гиперболы, пересекает свою горизонтальную асимптоту в бесконечном множестве точек (рис. 2).

У кривой, носящей название «декартов лист» (рис. 3),

уравнение которой
, имеется наклонная асимптота, как и у кривой
(рис. 4).

Коэффициенты к и b в уравнении прямой у = кх + b, являющейся наклонной асимптотой кривой у =f(х) при стремлении к плюс или минус бесконечности, находятся как пределы:

Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при к = 0. Исследование асимптот позволяет более четко представить поведение графика функции, поскольку свойства функции вблизи ее асимптоты очень близки к свойствам асимптоты -линейной функции, свойства которой хорошо изучены. Систематическое использование этого свойства породило целое направление в современной математике - «асимптотические методы исследования». Таким образом, понятие, возникшее еще в Древней Греции, переживает в наше время второе рождение. Не у всякой кривой, уходящей в бесконечность, есть асимптота. Например, известная вам кривая парабола асимптот не имеет.


Яндекс.Метрика