Порядок действий; Скобки

Если несколько арифмитических действий выполняются одно за другим, то результат, вообще говоря, зависит от порядка действий. Например,

4-2+1=3, если производить действии в порядке их записи;

если же сначала сложить 2 и 1 и вычесть полученную сумму из 4, то получим 1. Чтобы указать, в каком порядке нужно выполнять действия (и тех случаях, когда результат зависит от порядка действий), пользуются скобками. Действия, заключенные в скобки, выполняются раньше других. В нашем случае

(4-2) + 1=3;
4-(2+1)=1.

Пример 1.
(2+4)*5 = 6*5 = 30;
2+(4*5) = 2+20 = 22.

Чтобы не загромождать чрезмерно записи, условились не писать скобок:

1) в том случае, когда действия сложения и вычитании, следуя друг за другом, должны выполняться в том порядке, в каком они записаны; например, вместо
(4–2)+1=3 пишут 4-2+1=3;

2) в том случае, когда внутри скобок производятся действия умножения или деления, например, вместо 2+(4*5)=22 пишут 2+4*5=22.

При вычислении таких выражений, которые либо совсем не содержат скобок, либо содержат лишь такие скобки, внутри которых больше нет скобок, нужно производить действия в таком порядке:

1) сначала выполняются действия, заключенные в скобки; при этом умножение и деление делаются в порядке их следования, но раньше, чем сложение и вычитание;

2) затем выполняются остающиеся действия, причем опять умножение и деление делаются в порядке их следования, но раньше сложения и вычитания.

Пример 2.
2*5 - 3*3;
Сначала выполняем умножения
2*5=10;
3*3=9,
затем вычитание:
10-9=1.

Пример 3.
9+16:4–2*(16–2*7+4)+6*(2+5)
Сначала выполняем действия в скобках:
16-2*7+4=16-14+4=6;
2+5=7.
Теперь выполняем остающиеся действия:
9+16:4–2*6+6*7 = 9+4-12+42 = 43.

Часто для указания порядка действий необходимо заключать в скобки такие выражения, которые сами уже содержат скобки. Тогда, кроме обычных (круглых), применяют скобки иной формы, например квадратные [ ]. Если в скобки нужно заключить выражение, содержащее уже круглые и квадратные скобки, пользуются фигурными скобками {}.

Вычисление подобных выражений производится в следующем порядке:
1) сначала производятся вычисления внутри всех круглых скобок в вышеуказанной последовательности;
2) затем - вычисления внутри всех квадратных скобок по тем же правилам;
3) далее - вычисления внутри фигурных скобок и т. д.;
4) наконец, выполняются остающиеся действия.

Пример 4.
5+2*[14-3*(8—6)]+32:(10-2*3).
Выполняем действия в круглых скобках; имеем:
8-6=2;
10-2*3=10-6=4;
действия в квадратных скобках дают:
14-3*2 = 8;
выполняя остающиеся действия, находим:
5+2*8+32:4=5+16+8=29.

Пример 5.
{100-[35-(30-20)]}*2.
Порядок действий:
30 - 20= 10;
35 - 10 = 25;
100 - 25 = 75;
75*2=150.