Погрешность суммы и разности

Предельная абсолютная погрешность суммы равна сумме предельных абсолютных погрешностей отдельных слагаемых.

Пример 1. Складываются приближенные числа 265 и 32. Пусть предельная погрешность первого есть 5, а второго 1. Тогда предельная погрешность суммы равна 5 +1 = 6. Так, если истинное значение первого есть 270, а второго 33, то приближенная сумма (265+32 = 297) на 6 меньше истинной (270 + 33 = 303).

Пример 2. Найти сумму приближенных чисел:
0,0909+0,0833+0,0769+0,0714+ +0,0667+0,0625+0,0588+0,0556+0,0526
Сложение дает 0,6187. Предельная погрешность каждого слагаемого 0,00005; предельная погрешность суммы 0,00005 * 9 = 0,00045. Значит, в последнем (четвертом) знаке суммы возможна ошибка до 5 единиц. Поэтому округляем сумму до третьего знака, т. е. до тысячных. Получаем 0,619; здесь все знаки верные.

Замечание. При значительном числе слагаемых обычно происходит взаимная компенсация погрешностей; поэтому истинная погрешность суммы лишь в исключительных случаях совпадает с предельной погрешностью или близка к ней. Насколько редки эти случаи, видно из примера 2, где у нас 9 слагаемых. Истинная величина каждого из них может отличаться в пятом знаке от взятого приближенного значения на 1,2, 3, 4 или даже на 5 единиц в ту и в другую сторону.

Например, первое слагаемое может быть больше своего истинного значения на 4 единицы пятого знака, второе — на две, третье — меньше истинного на одну единицу и т. д. Подсчет показывает, что число всех возможных случаев распределения погрешностей составляет около одного миллиарда. Между тем лишь в двух случаях погрешность суммы может достигнуть предельной погрешности 0,00045; это произойдет 1) когда истинная величина каждого слагаемого больше приближенной на 0,00005 и 2) когда истинная величина каждого слагаемого меньше приближенной на 0,00005. Значит, случаи, когда погрешность суммы совпадает с предельной, составляют только 0,0000002 % всех возможных случаев.

Дальнейший подсчет показывает, что случаи, когда погрешность суммы девяти слагаемых может превысить три единицы последнего знака, тоже очень редки. Они составляют лишь 0,07 % из числа всех возможных. Две единицы последнего знака погрешность может превысить в 2 % всех возможных случаев, а одну единицу — примерно в 25%. В остальных 75 % случаев погрешность девяти слагаемых не превышает одной единицы последнего знака.

Пример 3. Считая слагаемые примера 2 точными числами*, округлим их до тысячных и сложим. Предельная погрешность суммы будет 9 • 0,0005 = 0,0045. Между тем имеем:
0,091+0,083+0,077+0,071+0,067+0,062 +0,059 + 0,056+0,053 = 0,619,
т. е. приближенная сумма отличается от истинной на 0,0003, т. е. на треть единицы последнего знака приближенных чисел. Все три знака приближенной суммы верны, хотя теоретически последняя цифра могла быть грубо неверной. Произведем в наших слагаемых округление до сотых. Теперь предельная погрешность суммы будет 9 • 0,005 = 0,045. Между тем получим 0,09 + 0,08 + 0,08 +0,07+0,07+0,06+0,06+0,06+0,05=0,62.
Истинная погрешность составляет только 0,0013, т. е. 1/8 единицы последнего знака приближенных чисел.
Предельная абсолютная погрешность разности равна сумме предельных абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого.

Пример 4. Пусть предельная погрешность приближенного уменьшаемого 85 равна 2, а предельная погрешность вычитаемого 32 равна 3. Предельная погрешность разности 85 - 32 = 53 есть 2+ +3 = 5. В самом деле, истинные значения уменьшаемого и вычитаемого могут равняться 85 +2 = 87 и 32 - 3 = 29. Тогда истинная разность есть 87 - 29 = 58. Она на 5 отличается от приближенной разности 53.

Предельную относительную погрешность суммы и разности легко найти, вычислив сначала предельную абсолютную погрешность.

Предельная относительная погрешность суммы (но не разности!) лежит между наименьшей и наибольшей относительных погрешностей слагаемых. Если всё слагаемые имеют одну и ту же (или примерно одну и ту же) предельную относительную погрешность, то и сумма имеет ту же (или примерно ту же) предельную относительную погрешность. Иными словами, в этом случае точность суммы (в процентном выражении) не уступает точности слагаемых. При значительном же числе слагаемых сумма, как правило, гораздо точнее слагаемых (по причине, объясненной в замечании к примеру 2).

Пример 5. В каждом слагаемом суммы 24,4 + 25,2 + 24,7=74,3 предельная относительная погрешность примерно одна и та же, именно , 0,05 : 25 = 0,2 %. Такова же она и для суммы. Здесь предельная абсолютная погрешность равна 0,15, а относительная 0,15 : 74,3 ≈ 0,15 : 75 = 0,2 %

В противоположность сумме разность приближенных чисел может быть менее точной, чем уменьшаемое и вычитаемое. «Потеря точности» особенно велика в том случае, когда уменьшаемое и вычитаемое мало отличаются друг от друга.

Пример 6. Измерение внешнего и внутреннего диаметра тонкостенной трубки дало для первого 28,7 мм, а для второго 28,3 мм. Вычислив по этим данным толщину стенки, найдем:
1/2 • (28,7 -28,3) = 0,2 (мм). Предельная относительная погрешность уменьшаемого (28,7) и вычитаемого (28,3) одна и та же. δ = 0,2 %. Предельная относительная погрешность разности 0,4 (а также ее половины 0,2) составляет 25 %.
Ввиду указанного факта следует всегда, когда это возможно, избегать вычисления искомой величины с помощью вычитания близких чисел.

* Эти слагаемые получены обращением дробей, 1/12, 1/13, 1/14,...., 1/19 в десятичные с точностью до четвертого знака. Читатель пусть возьмет другие наугад взятые числа.