Действия с нулем

Сложение нуля

Прибавление нуля к некоторому числу оставляет последнее неизменным;

5 + 0 = 5;
3(5/7) + 0 = 3(5/7).

Вычитание нуля

Вычитание нуля из какого-либо числа оставляет последнее неизменным:

5 - 0 = 5;
З(5/7) - 0 = З(5/7).

Умножение нуля

Произведение нуля на любое число равно нулю:

5 * 0 = 0;
0 * 3(5/7) = 0;
0 * 0 = 0.

Деление нуля

1. 1. Частное от деления нуля на какое-либо число, отличное от нуля, равно нулю:

   0 : 7 = 0;
   0 : 3/950 = 0.

2. 2. Частное от деления нуля на нуль неопределенно. В этом случае любое число удовлетворяет определению частного.

   Например, можно положить
   0 : 0 = 5, ибо 5 * 0 = 0; но с равным правом
   0 : 0 = 3(5/7) , ибо 3(5/7) * 0 = 0.

   Можно сказать, что задача деления нуля на нуль имеет бесчисленное множество решений, и без указания дополнительных данных действие 0 : 0 не имеет смысла. Дополнительные данные должны состоять в указании того, каким образом изменялись величины делимого и делителя до того, как они стали нулями. Если это известно, то в большинстве случаев можно выражению 0 : 0 придать смысл. Так, если известно, что делимое принимало последовательно значения
   3/100, 3/1000, 3/10000 и т.д., а делитель 7/100, 7/1000 и т.д., то частное в это время было 3/100 : 7/100 = 3/7;
   3/1000 : 7/1000 = 3/7 и т. д., т. е. оставалось равным 3/7, поэтому и частное 0 : 0 считается здесь равным 3/7.

   В подобных случаях говорят о «раскрытии неопределенности 0 : 0». Для раскрытия неопределенности 0 : 0 существует ряд общих приемов, изучаемых высшей математикой, но во многих случаях удастся обойтись и средствами элементарной математики.

3. 3. Частное от деления какого-либо числа, отличного от нуля, на нуль не существует, так как в этом случае никакое число не может удовлетворить определению частного.

   Напишем, например, 7 : 0; какое бы число ни взять на пробу (скажем, 2, 3, 7), оно не годится (ибо 2 : 0 = 0; 3 : 0 = 0; 7 : 0 = 0 и т. д., а нужно получить в произведении 7). Можно сказать, что задача о делении на нуль числа, отличного от нуля, не имеет решения.

   Однако число, отличное от нуля, можно разделить на число, как угодно близкое к нулю, и чем ближе делитель к нулю, тем больше будет частное. Так, если будем делить 7 на 1/10, 1/100, 1/1000, 1/10000 и т.д., то получим частные 70, 700, 7000, 70000 и т. д., которые неограниченно возрастают. Поэтому часто говорят, что частное от деления 7 на 0 «бесконечно велико», или «равно бесконечности», и пишут 7 : 0 = ∞

   Смысл этого выражения состоит в том, что если делитель приближается к нулю, а делимое остается равным 7 (или приближается к 7), то частное неограниченно увеличивается.