Формулы сокращенного умножения многочленов
Следующие частные случаи умножения многочленов часто встречаются, и потому их полезно помнить. Особенно важно научиться применять нижеприведенные формулы тогда, когда буквы а, b, входящие в них, заменяются более сложными выражениями (например, одночленами). 1. (а+b)2 = а2+2аb + b2 Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй. Пример 1. 1042 = (100 + 4)2 = 10 000 + 800 + 16=10 816. Пример 2. (2ma2 + 0,1nb2)2 = 4m2а2 +0,4mna2b2+0,01n2b2 Предостережение: (a+b)2 не равно а2 + b2 2. (а - b)2 = а2 - 2ab + 4 Квадрат разности двух величин равен квадрату первой минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй. Эту формулу можно рассматривать как частный случай предыдущей [вместо b берется (- b)]. Пример 1. 982= (100-2)2=10000 -400+4=9604. Пример 2. (5x3-2у3)2 = 25x6-20x3y3+4y6 Предостережение: (a - b)2 не равно а2 - b2 [см. формулу 3]. 3. (а + b) (а - b) = а2 – b2. Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов. Пример 1. 71•69 = (70+1)(70-1) = 702 – 1 = 4899. Пример 2. (0,2 a2b+c3) (0,2 a2b - c3) = 0,04 a4b2 – c6 4. (a+b)3 =a3+3a2b+3ab2+b3. Куб суммы двух величин равен кубу первой плюс утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй плюс куб второй. Пример 1. 123= (10+2)3= 103+3•10•22+23=1728. Пример 2. (5ab2+2a3)3 = 125a3b6+150a5b4+60a7b2+8a9 Предостережение: (a+b)3 не равно a3+b3 [см. формулу 6]. 5. (а - b)3 = а3 - 3а2b +3ab2 - b3. Куб разности двух величин равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй. Пример. 993 = (100 -1)3 = 1 000 000 - 3•10 000•1 +3•100•1 - 1 =970 299. Предостережение: (a - b)3 не равно a3- b3 [см. формулу 7]. 6. (а + b) (а2 + ab + b2) = a3 +b3 Произведение суммы двух величин на «неполный квадрат разности» равно сумме их кубов. 7. (а - b) (а2 + ab + b2) = а3 – b3 Произведение разности двух величин на «неполный квадрат суммы» равно разности их кубов.