Возвышение комплексного числа в целую степень

Согласно главе 44

[r (cosφ + isinφ)]² = r²(cos2φ + isin2φ),
[r (cosφ + isinφ)]³ = r³(cos3φ + isin3φ)
и вообще
[r (cosφ + isinφ)]ⁿ = rⁿ(cos nφ + isin nφ), (А)
где n – целое положительное число. Формула (А) называется формулой Муавра (Moivre, 1667 - 1754). Она верна и для целого отрицательного показателя n, а также для n = 0.
Например,
Следовательно (см. пример 3 предыдущего параграфа),

Итак, при возведении комплексного числа в любую целую степень модуль возводится в ту же степень, а аргумент помножается на показатель степени.
Пример 1. Возвести в шестую степень число
z = 2(cos10° +isin10°).
Имеем z⁶ =2⁶(cos 60° + isin 60°) = 32 + 32
Пример 2. Возвести в 20-ю степень число

Модуль числа z (§41) есть 1, а аргумент равен - 60°. Следовательно, модуль числа z²⁰ есть 1, а аргумент равен - 1200° = - 3•360°-120°. Имеем:
z²⁰ = cos (-120°) + i sin (-120°) =
Пример 3. Найти выражение косинуса и синуса угла 3φ через косинус и синус угла φ.
Решение. cos3φ + isin3φ = (cosφ + isinφ)³ = cos³φ + 3icos²φsinφ + 3i²cosφsin²φ + i³sin³φ = cos³φ - 3icosφsin²φ + i(3cos²φsinφ – sin³φ).
Приравнивая абсциссы и ординаты (§35), находим:
cos3φ = cos³φ - 3sin²φcosφ.
sin3φ = 3cos²φsinφ – sin³φ.
Пример 4.Таким же образом найдем:
cos4φ = cos⁴φ - 6 cos²φsin²φ+sin⁴φ,
sin4φ = 4cos³φsinφ – 4cosφsin³φ,
a также общие формулы для sin nφ, cos nφ.