Тригонометрическая форма комплексного числа

Абсцисса а и ордината b комплексного числа а +bi выражаются через модуль r и аргумент φ (фиг. 5) формулами

а = r cos φ; b = r sin φ.
Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде r (cos φ + isin φ), где r≥0.
Это выражение называется нормальной тригонометрической формой или, короче, тригонометрической формой комплексного числа.
Пример 1. Представить комплексное число – 3 – 3i в нормальной тригонометрической форме. Имеем:

Следовательно,
– 3 – 3i = 3 (cos (- 135˚) + isin (—135˚))
или
– 3 – 3i = 3 (cos 225˚ + isin 225˚)
и т. д.
Пример 2. Для комплексного числа - 2 + 6i имеем

и φ = 108˚. Следовательно, нормальная тригонометрическая форма числа - 2 + 6i есть
(cos 108˚ + isin 108˚).
Пример 3. Нормальная тригонометрическая форма числа 3 есть 3(cos 0˚ + isin 0˚) или, в общем виде,
3 (соз 360˚ k + isin 360˚ k).
Пример 4. Нормальная тригонометрическая форма числа - 3 есть 3(cos 180° +isin 180°) или
3 [cos (180˚ + 360˚ k) + i sin (180˚ + 360˚ k)].
Пример 5. Нормальная тригонометрическая форма мнимой единицы i есть cos 90˚ + isin90˚ или
cos (90˚ + 360˚k) + isin (90˚ + 360˚ k).
Здесь r = 1.
Пример 6. Нормальная тригонометрическая форма числа - i есть cos (- 90˚) + i sin (- 90˚) или
cos (- 90˚ + 360˚ k) + i sin (- 90˚ + 360˚ k).
Здесь r = 1.
В противоположность тригонометрической форме выражение вида а + bi называется алгебраической, или координатной формой комплексного числа.
Пример 7. Комплексное число 2 [cos ( - 40˚) + isin ( - 40˚)] представить в алгебраической форме.
Здесь r = 2, φ = - 40˚. По формулам (3), (4) предыдущего параграфа
a = r cos φ = 2 cos ( - 40˚) ≈ 2 • 0,766 = 1,532,
b = r sin φ = 2 sin ( - 40˚) = 2 • (- 0,643) == - 1,286.
Алгебраическая форма данного числа есть (приближенно) 1,532 - 1,286i.
Пример 8. Представить в алгебраической форме число 3 (cos 270φ + isin 270φ). Так как cos 270φ = 0; sin 270φ = -1, то данное число равно – 3i.
Пример 9. Если r (cos φ + isin φ) есть одно из сопряженных комплексных чисел, то другое можно представить в виде r [cos(- φ ) + isin( - φ )] или в виде r (cos φ - isin φ); впрочем, последнее выражение уже не будет нормальной формой.