Система уравнений второй степени с двумя неизвестными

Наиболее общий вид уравнения 2-й степени с двумя неизвестными есть

ах² + bху + су² + dx + ey + f = 0,
где а, b, с, d, е, f — данные числа или выражения, содержащие известные величины. Одно уравнение 2-й степени с двумя неизвестными имеет бесчисленное множество решений.
Система двух уравнений с двумя неизвестными, из которых одно - квадратное, а другое - 1-й степени, можно решить способом подстановки. Выражение одного неизвестного через другое находится из уравнения 1-й степени. Подставив это выражение в уравнение второй степени, получим уравнение с одним неизвестным. В общем случае оно будет квадратным (см. пример 1). Но может оказаться, что члены второй степени взаимно уничтожатся, и тогда мы будем иметь уравнение первой степени (см. пример 2).
Пример 1. х² - 3xy + 4у² - 6х + 2у = 0, х - 2у = 3. Из второго уравнения находим х = 3 + 2у.
Подставляя это выражение в первое уравнение, имеем:
(3 +2у)² - 3(3 + 2y)у + 4y²- 6(3 + 2у) + 2у = 0.
Решаем это уравнение:
9 + 12y + 4y² -9y - 6y² +4y² -18 -12y +2y = 0;
2y² -7y -9 = 0;
y =
y1 = 9/2 ; y2 = -1.
Найденные значения y1 = 9/2 ; y2 = -1 подставляем в выражение x = 3 +2y; получаем x1 = 12, x2 = 1.
Пример 2. x² – y² = 1; x + y = 2.
Из второго уравнения находим у = 2 - х. Подставляя это выражение в первое уравнение, получим х² - (2 - х)² = 1. После приведения подобных членов члены второй степени взаимно уничтожаются, и мы получаем - 4 + 4x = 1, откуда x = 5/4. Подставляя это значение в выражение у = 2 - х, находим y = 3/4.
Систему двух квадратных уравнений с двумя неизвестными можно решать так: если одно из уравнений не содержит члена ах² (или члена су²), то применяем способ подстановки, выражая из этого уравнения х (или у) через у (или х); если же оба уравнения содержат члены вида ах² и су², то предварительно применяем способ сложения или вычитания, чтобы получить уравнение, не содержащее члена ах² или су². После этого пользуемся способом подстановки. После исключения получается уравнение с одним неизвестным, имеющее, вообще говоря, 4-ю степень. К квадратному уравнению оно сводится лишь в исключительных случаях, но эти случаи встречаются довольно часто при решении геометрических задач.
Пример 3.
x² + xy + 2y² = 74, 2x² + 2xy + y² = 73.
Оба уравнения содержат как члены с x², так и члены с y². Поэтому сначала применим способ сложения или вычитания, чтобы получить уравнение, не содержащее, скажем y².

Из последнего уравнения находим выражение y через x:

Это выражение подставляем в одно из данных уравнений, например в первое, получаем:

Упрощения дают:
x⁴ +24x² – x⁴ +1152 – 96x² +2x⁴ = 74x²;
2x⁴ -146x² +1152 = 0;
x⁴ – 73x² +576 = 0.
Получилось биквадратное уравнение.
Положив x2 = z, приводим его к уравнению z2 – 73z + 576 = 0.
Решая последнее находим:

z1 = 64; z2 = 9.
Первое решение дает x1 = 8; x2 = - 8; второе x3 = 3; x4 = -3. Подставляя значения x1; x2; x3; x4 в выражение , получаем соответствующие им значения y:
y1 = - 5; y2 = + 5; y3 = +5; y4 = - 5.
Для решения систем уравнений второй степени часто можно с успехом использовать искусственные приемы решения, позволяющие с успехом получить результат быстрее и изящнее.