Квадратное уравнение;мнимые и комплексные числа

Алгебраическое уравнение 2-й степени иначе называется квадратным. Наиболее общий вид квадратного уравнения с одним неизвестным есть

ax² + bx + c = 0,

где a, b, c - данные числа или буквенные выражения, содержащие известные величины (причем коэффициент а не может быть равен нулю, иначе уравнение будет не квадратным, а 1-й степени).. Разделив обе его части на a, мы получим уравнение вида

x² + px + q = 0

(p = b/a; q = c/a).
Квадратное уравнение такого вида называется приведенным; уравнение ах² + bx + c = 0 (где а ≠ 0), называется неприведенным. Если одна из величин b, с или обе вместе равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным; если и b и с не равны нулю, квадратное уравнение называется полным.

Примеры
3x² + 8x -5 = 0 – полное неприведенное квадратное уравнение;
3x² – 5 = 0 – неполное неприведенное квадратное уравнение;
x² – ax = 0 – неполное приведенное квадратное уравнение;
x² – 12x +7 = 0 – полное приведенное квадратное уравнение.

Неполное квадратное уравнение вида

x² = m (m – известная величина)

является самым простым типом квадратного уравнения и вместе с тем очерь важным, так как к нему приводится решение всякого квадратного уравнения. Решение этого уравнения имеет вид

Возможны три случая:

1) Если m = 0, то и x = 0.

2) Если m – положительное число, то его квадратный корень может иметь два значения: одно положительное, другое отрицательное. Абсолютные величины этих значений одинаковы. Например, уравнение x² = 9 удовлетворяется значением х = + 3 и х = - 3. Другими словами, x имеет два значения: +3 и - 3. Часто это выражают тем, что перед радикалом ставят два знака – плюс и минус.

При таком написании подразумевается, что выражение обозначает общую абсолютную величину-двух значений корня; в нашем примере - число 3. Величина может быть иррациональным чиcлом. Заметим, что и само m может быть иррациональным числом. Например, пусть требуется решить уравнение

x² = π

(геометрически это означает найти длину стороны квадрата равного по площади кругу с радиусом 1). Его корень x = √π.

3) Если m - отрицательное число, то уравнение х² = m (например, х² = - 9) не может иметь никакого положительного и никакого отрицательного корня: ведь и положительное и отрицательное число по возведении в квадрат дает положительное число. Таким образом, можно сказать, что уравнение х² = - 9 не имеет решений, т.е. число не существует.

Но с таким же основанием до введения отрицательных чисел можно было говорить, что и уравнение 2x + 6 = 4 не имеет решений. Однако после введения отрицательных чисел это уравнение стало разрешимым. Точно так же уравнение х² = - 9, не имеющее решений среди положительных и отрицательных чисел, становится разрешимым после введения новых величин - квадратных корней из отрицательных чисел. Эти величины были впервые введены итальянским математиком Кардано в середине 16 века в связи с решением кубического уравнения. Кардано назвал эти числа «софистическими» (т. е. «мудреными»). Декарт в 30-х годах 17 века ввел наименование «мнимые числа», которое, к сожалению, удерживается до сих пор. В противоположность мнимым числам прежде известные числа (положительные и отрицательные, в том числе иррациональные) стали называть действительными или вещественными. Сумма действительного и мнимого числа называется комплексным числом*.Часто и комплексные числа называют мнимыми.

Введя в рассмотрение мнимые числа, можно сказать, что неполное квадратное уравнение x² = m всегда имеет два корня. Если m > 0, эти корни действительны, они имеют одинаковую абсолютную величину и различны по знаку. Если m = 0, оба они равны нулю; если m < 0, - они мнимые.

*Этот термин введен Гауссом в 1831 г. Слово «комплексный» означает в переводе «совокупный».