Система трех уравнений первой степени с тремя неизвестными


Система трех уравнений первой степени с тремя неизвестными

После выполнения преобразований, уравнение первой степени с тремя неизвестными х, у, z примет вид ах + by +cz = d, где a, b, с, d — данные числа или буквенные выражения. Одно такое уравнение, отдельно взятое, или система двух таких уравнений имеет бесчисленное множество решений. Система тpex уравнений 1-й степени с тремя неизвестными имеет в общем случае одну систему решения. В исключительных случаях (см. ниже) она может иметь бесчисленное множество или вовсе не иметь решений.
Решение системы трех уравнений с тремя неизвестными основывается на тех же приемах, что и решение системы двух уравнений с двумя неизвестными, как видно из следующего примера.
Пример. Решить систему уравнений

3x - 2y + 5z=7, (1)
7x + 4y - 8z = 3 (2)
5x – 3y - 4z = -12 (3)

Возьмем два уравнения этой системы, например (1) и (2), и будем исходить из предположения, что одно из неизвестных, например z, уже найдено, т. е. является известной величиной. Решая взятую систему относительно неизвестных х и у, найдем:
; . (4)

Подставив эти выражения х, у в уравнение (3), получим уравнение с одним неизвестным
.

Решив это уравнение, найдем z = 2. Подставив это значение в выражения (4), найдем x = 1; у = 3.
Общие формулы для решения системы
(5)

можно получить тем же приемом. Решение будет иметь сложный и трудно запоминаемый вид, если его записать в развернутом виде, но ему можно придать легко запоминаемый и удобный для вычисления вид, если предварительно ввести понятие об определителе третьего порядка.
Определитель третьего порядка, сокращенно обозначаемый
(6)

есть не что иное, как выражение
ab1с2 + bc1a2 + ca1b2 - cb1a2 - ac1b2 - ba1c2. (7)

Это выражение не нужно запоминать, так как оно легко изучается из своего схематического обозначения (6) следующим образом: перепишем табличку (6), приписав к ней права еще раз две первые ее колонны; таблица примет (8).

Проведем диагональные линии, отмеченные на схеме (8) пунктиром, и выпишем произведения букв, стоящих на каждой из шести диагональных линий. Со знаком + возьмем те три произведения, которые принадлежат диагоналям, опускающимся вправо; со знаком - остальные три произведения. Написав теперь эти произведения подряд, получим выражение (7). Пример 1. Вычислить определитель третьего порядка
(9)

Схема (8) примет вид (8')
Определитель (9) равен
3•4•(-4) + (-2)•(-8)•5 + 5•7•(-3) - 5•4•5 – 3•(-8)•(-3) – (- 2)•7•(-4) = -48 + 80 - 105 - 100 -72 - 56 = - 301.
С помощью определителей решение системы (5) можно подставить в виде
(10)

т.е. каждое из неизвестных равно дроби, знаменатель которой есть определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, а числитель получается из этого определителя заменой коэффициентов при соответствующей неизвестном на свободные члены.
Пример 2. Решить систему уравнений
3x – 2y + 5z = 7,
7x + 4y – 8z =3,
5x – 3y – 4z = -12

Общий знаменатель формул (10) вычислен в примере; он равен - 301. Числитель первой из формул (10) получаете, из (9) заменой первого его столбца столбцом свободныx членов.
Он имеет вид
(10)

Вычисляя его по схеме (8), получим - 301. Таким образом, получаем:.Так же найдем:
.

Система уравнений (5) имеет единственное решение если определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, не равен нулю. Тогда формулы (10), в знаменателях которых стоит упомянутый определитель, решение системы (5). Если определитель, составленный из коэффициентов, равен нулю, то формулы (10) становятся непригодными для вычисления. В этом случае система (5) либо имеет бесчисленное множество решений, либо совсем их не имеет. Бесчисленное множество решений она имеет в том случае, если не только определитель, стоящий в знаменателях, но и определители, стоящие в числителях формул (10), обращаются в нуль; важно отметить, что если определитель, стоящий в знаменателях, и один из определителей, стоящих в числителях, равны нулю, то два других определителя в числителях непременно равны нулю. Наличие бесчисленного множества решений обусловливается тем, что одно из трех уравнений (5) является следствием двух других [или даже два из уравнений (5) являются каждое следствием третьего], так что фактически мы имеем несмотря лишь два (или даже одно) уравнение с тремя неизвестными.
Пример 3. В системе уравнений
(11)

определитель из коэффициентов есть
=0

[см. схему (8)]. Взяв один из определителей, стоящих в числителях формул (10), например определитель

входящий в первую из формул (10), найдем, что он также равен нулю. Остальные два определителя, входящие во вторую и третью формулы (10), не нужно вычислять: они заведомо равны нулю. Система (11) имеет бесчисленное множество решений: одно из ее уравнений (любое) является следствием двух других. Например, если помножить второе уравнение на 2, первое на - 3 и сложить полученные уравнения, получим третье уравнение.
Система (5) вовсе не имеет решений, если определитель, стоящий в знаменателях формул (10), равен нулю, но ни один определителей, стоящих в числителях, не равен нулю.
При этом достаточно убедиться, что не равен нулю один из числителей; тогда два других непременно будут не равны нулю. Отсутствие решений обусловливается тем, что одно из уравнений противоречит двум остальным (или даже каждому из них в отдельности).
Пример 4. Возьмем систему уравнений
(12)

которая отличается от системы (11) только значением свободного члена в последнем уравнении. Поэтому определитель из коэффициентов остается тем же: он равен нулю.
Но определители, входящие в числители, будут иными. Например, числитель первой из формул (10) будет
=-135

Он не равен нулю. Остальные два числителя заведомо не равны нулю. Система (12) не имеет решений. Она противоречива, ибо из первых двух уравнений вытекает как следствие уравнение 2х + 21у – 15z = =8, (см. пример 3); между тем третье уравнение системы (12) имеет вид 2х + 21у – 15z = 3, так что одно и то же выражение оказывается: равным и 3 и 8, что невозможно.
Яндекс.Метрика