Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными

После выполнения преобразований, подобных рассмотренным в предыдущем параграфе, уравнение 1-й степени с двумя неизвестными х, у примет вид ах+bу = c, где а, b, с - данные числа или буквенные выражения.
Отдельно взятое такое уравнение имеет бесчисленное множество корней. Одному из неизвестных (например, х) можно дать совершенно произвольное значение; значение у найдется из уравнения с одним неизвестным, которое получится после подстановки значения х в наше уравнение. Например, в уравнении 5x +3y = 7 можно положить x = 2; тогда имеем 10 + 3у = 7, откуда у = - 1.
Если неизвестные хиу связаны не одним, а двумя уравнениями 1-й степени, то бесчисленное множество значений они могут иметь только в исключительных случаях. Вообще же система двух уравнений 1-й степени с двумя неизвестными имеет только одну систему решений. Может оказаться (тоже в исключительных случаях), что она и вовсе не имеет решений.
Решение системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными можно различными способами свести к решению одного уравнения первой степени с одним неизвестным. Два таких способа объяснены в следующем параграфе.
Задачи, приводящие к системе двух уравнений с двумя неизвестными, можно всегда решить и с помощью одного уравнения с одним неизвестным; однако при этом часто приходится уделять много внимания тем расчетам, которые при пользовании системой уравнений выполняются по шаблонным приемам в самом процессе решения системы. То же самое относится и к задачам, решаемым с помощью трех (или большего числа) неизвестных. Можно решить их и с помощью одной или двух неизвестных величин. Чем большее количество неизвестных величин вводится в рассмотрение, тем, вообще говоря, проще составлять каждое из уравнений, зато затрудняется процесс решения системы. Поэтому на практике предпочтительно вводить возможно меньшее число неизвестных букв с тем, однако, чтобы составление уравнений было не слишком хлопотливым.
Пример. Кусок сплава меди и цинка объемом в 1 дм³, весит 8,14 кг. Сколько меди и цинка в сплаве (удельный вес меди 8,9 кг/дм³; цинка – 7,0 кг/дм³)? Обозначая через x и y неизвестные объемы меди и цинка, имеем два уравнения:

x + у = 1, (1)
8,9x +7,0y = 8,14 (2)
Первое выражает, что общий объем меди и цинка (в дм³) равен 1; второе - что общий вес их (в кг) равен 8,14 (8,9x есть вес меди; 7,0у - вес цинка). Решая систему уравнений (1), (2) по общим правилам (см. следующий параграф), находим x = 0,6, у = 0,4.