Как составлять уравнения

Составить уравнение - значит выразить в математической форме связь между данными (известными) задачи и искомыми (неизвестными) ее величинами. Иногда эта связь, настолько явно содержится в формулировке задачи, что составление уравнения есть просто дословный пересказ задачи, на языке математических знаков.

Пример 1

Петров получил за работу на 160 руб. больше, чем половина суммы, которую получил Иванов. Вместе они получили 1120 руб. Сколько получили за работу Петров и Иванов?

Обозначим через х заработок Иванова. Половина его заработка есть 0,5x ; месячной заработок Петрова 0,5x + 160 вместе они зарабатывают 1120 руб.; математическая запись последней фразы будет

( 0,5x + 160 ) + x = 1120.

Уравнение составлено. Решая его по раз установленным правилам, находим, заработок Иванова х = 640руб.; заработок же Петрова 0,5x + 160 = 480 (руб.).

Чаще, однако, случается, что связь между данными и искомыми величинами не указывается в задаче прямо; ее нужно установить, исходя из условий задачи. В практических задачах так и бывает почти всегда. Только что приведенный пример носит надуманный характер; в жизни почти никогда подобных задач не встречается.

Для составления уравнения поэтому нельзя дать вполне исчерпывающих указаний. Однако на первых порах полезно руководствоваться следующим. Примем за значение искомой величины (или нескольких величин) какое-нибудь наугад взятое число (или несколько чисел) и поставим себе задачу проверить, угадали ли мы правильное решение задачи или нет. Если мы сумели провести эту проверку и обнаружить либо то, что догадка наша верна, либо то, что она неверна (скорее всего случится, конечно, второе), то мы немедленно можем составить нужное уравнение (или несколько уравнений). Именно, запишем те самые действия, которые мы производили для проверки, только вместо наугад взятого числа введем буквенной знак неизвестной величины. Мы получим требуемое уравнение.

Пример 1

Кусок сплава меди и цинка объемом в 1 дм³ весит 8,14 кг. Сколько меди содержится в сплаве? (уд. вес меди 8,9 кг/дм³; цинка - 7,0 кг/дм³).

Возьмем наугад число, выражающее искомый объем меди, например 0,3 дм³. Проверим, удачно ли мы взяли это число. Так как 1 кг/дм³ меди весит 8,9 кг, то 0,3 дм³ весят 8,9 * 0,3 = 2,67 (кг). Объем цинка в сплаве есть 1 - 0,3 = 0,7 (дм³). Вес его 7,0 * 0,7 = 4,9 (кг). Общий вес цинка и меди 2,67+ +4,9 = 7,57 (кг). Между тем вес нашего куска, по условию задачи, 8,14 кг. Догадка наша несостоятельна. Но зато мы немедленно получим уравнение решение которого даст правильный ответ. Вместо наугад взятого числа 0,3 дм³ обозначим объем меди (в дм³) через х. Вместо произведения 8,9 * 0,3 = 2,67 берем произведшие 8,9 x. Это — вес меди в сплаве. Вместо 1 – 0,3 = 0,7 берем 1 - х; это - объем цинка. Вместо 7,0 * 0,7 = 4,9 берем 7,0 (1 - x); это — вес цинка. Вместо 2,67 + 4,9 берем 8,9х + 7,0 (1 - х); это - общий вес цинка и меди. По условию он равен 8,14 кг; значит, 8,9х +7,0 (1 - x) = 8,14.

Решение этого уравнения дает x = 0,6. Проверку наугад взятого решения можно делать различными способами; соответственно этому можно получить для одной и той же задачи различные виды уравнения; все они, однако, дадут для искомой величины одно и, то же решение, такие уравнения называются равносильными друг другу.

Разумеется, после получения навыков в составлении уравнений нет нужды производить проверку наугад взятого числа: можно для значения искомой величины брать не число, а какую-нибудь букву (х, у и т. д.) и поступать так, как если бы эта буква (неизвестное) была тем числом, проверить которое мы собираемся.

Узнать больше

Теорема косинусов

Ловкий Карл Фридрих Гаусс