Разложение многочленов на множители
Многочлен можно иногда представить в виде произведения двух или нескольких многочленов. Это возможно далеко не всегда, и в
тех случаях, когда это возможно, найти требуемое разложение часто очень трудно. Практическое значение такого разложения
состоит прежде всего в том, что оно часто позволяет упростить вид выражения (например, в том случае, когда в числителе и
знаменателе дроби можно выделить одинаковые множители).
Ниже перечислены простейшие случаи, когда разложение на множители выполняется.
1. Если все члены многочлена содержат в качестве множителя одно и то же выражение, его можно «вынести за скобки».
Пример 1. 7a2xy - 14a5x3=7a2x(y – 2a3x2).
Пример 2. 6x2y3 -2uxy2+4u2xy=2xy(3xy2-uy+2u2).
2.Иногда оказывается возможным, разбив члены на несколько групп, вынести в каждой некоторый множители за скобки, после
чего внутри всех скобок окажется одно и то же выражение. Тогда это выражение в свою очередь вынесется за скобки, и
многочлен будет разложен на множители.
Пример 1. ax+bx+ay+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y).
Пример 2.
Замечаниe. Полезно иметь в виду, что выражение а — b можно всегда представить в виде – (b — а), так что на
первый взгляд различные множители можно легко сделать одинаковыми.
Пример 3.6ax-2bx+9by-27ay=2x(3a-b)+9y(b-3a)=2x(3a-b)-9y(3a-b) = (3a-b)(2x-9y).
3. Преобразование, объясненное в п. 2, иногда удается осуществить после предварительного введения новых (взаимно
уничтожающихся) членов или разложения одного из членов на два слагаемых.
Пример 1. a2 –x2 = a2+ax-ax –x2=a(a+x)-x(a+x)=(a+x)(a-x)
Пример 2. p2+pq-2q2=p2+2pq-pq-2q2=p(p+2q)-q(p+2q)=(p+2q)(p-q).
4. От применения последнего приема иногда можно избавить себя, пользуясь несколькими готовыми формулами
разложения, получаемыми обращением формул сокращенного умножения, именно: