Делимость двучлена x^mma^m на x^mma

1. Разность одинаковых степеней двух чисел делится (без остатка) на разность этих чисел, т. е. х^m – a^m делится на х - а. Этот признак, как и следующие, вытекает из теоремы Безу.
Частное состоит из m членов и имеет следующий вид
(показатели при х непрестанно убывают на единицу; в то же время показатели при а возрастают на единицу, так что сумма показателей неизменно равна т - 1; все коэффициенты равны +1)
Примеры.
(х² - а²):(х - а) = х+а;
(х³ - а³):(х - а) = x² + ax + a²
(x⁴ - a⁴): (x - а) = x³ +ax² +a²x +a³
(x⁵ – a⁵): (x - а) = x⁴ +ax³ +a²x² +a³x+a⁴
2. Разность одинаковых четных степеней двух чисел делится не только на разность этих чисел (пункт 1), но и на их сумму, т. е. хm - аm при четном m делится и на x - а и на х +a. Во втором случае частное имеет вид
(знаки плюс и минус чередуются).
Примеры.
(х² - а²):(х + а) = х - а;
(х⁴ – а⁴):(х + а) = x³ – ax² + a²x – a³;
(x⁶ – a⁶): (x + а) = x⁵ – ax⁴ +a²x³ - a³x²+ a⁴x – a⁵.
Замечание. Так как разность четных степеней делится на х — а и на х + а, то она делится и на х² - a². Примеры.
(х⁴ – а⁴):(х² – а²) = x²+a²;
(х⁶ – а⁶):(х² – а²) = x⁴+a²x²+a⁴
(х⁸ – а⁸):(х² – а²) = x⁶+a²x⁴+a⁴x²+a⁶
Закон составления частных очевиден; он легко подводится под закон пункта 1, например
(х⁸ – а⁸):(х² – а²) = [(x²)⁴ – (a²)⁴]: (x² – a²) = (x²)³ +a²(x²)² +(a²)³
2а. Разность одинаковых нечетных степеней двух чисел не делится на сумму этих чисел.
Например, ни x³ – a³, ни x⁵ – a⁵ не делится на x + a.
3. Сумма одинаковых степеней двух чисел никогда не делится на разность этих чисел.
Например, ни x² +a² , ни x³ +a³, ни x⁴ +a⁴ не делится на х – а.
4. Сумма одинаковых нечетных степеней двух чисел делится на сумму этих чисел (в частном знаки плюс и минус чередуются).
Примеры.
(х³ + а³):(х + а) = x² – ax +a²
(x⁵+a⁵):(x+a) = x⁴ – ax³ +a²x² – a³x +a⁴
4a. Суммы одинаковых четных степеней двух чисел не делятся не только на разность (пункт 3), но и на сумму этих чисел. Например, x⁶ +a⁶ не делится ни на x – a, ни на x + a.