Деление многочлена на двучлен первой степени

Если многочлен, содержащий букву х, делить на двучлен первой степени х – l, где l – какое-либо число (положительное или отрицательное), то в остатке может получится только многочлен нулевой степени (§9), т.е. некоторое число N. Число N можно отыскать, не находя частного. Именно, это число равно тому значению делимого, которое последнее получает при x=l.
Пример 1. Найти остаток от деления многочлена x³ - 3x² + 5x - 1 на х - 2. Подставляя х = 2 в данный многочлен, находим N = 2³ - 3•2² + 5•2 – 1=5.
Действительно, выполнив деление, найдем частное М=х² – x +3 и остаток N= 5.
Пример 2. Найти остаток от деления многочлена х⁴ + 7 на х + 2. Здесь l = - 2. Подставляя x = -2 в х⁴ + 7, находим N= (- 2)⁴ + 7 = 23.
Указанное свойство остатка называют теоремой Безу по имени открывшего его французского математика (1730—1783). Теорема Безу формулируется так: многочлен при делении на x - l дает остаток

Доказательство. По определению деления имеем:
= (x-l) Q+N,
где Q - какой-то многочлен, a N - некоторое число. Подставим сюда x=l; член (x-l) Q пропадет, и мы получим:
= N.
Замечание. Может оказаться, что N = 0. Тогда l есть корень уравнения
= 0. (1)
Пример. Многочлен x³ + 5x² – 18 делится на x + 3 без остатка (в частном получается х² + 2х -6). Следовательно, - 3 есть корень уравнения x³ + 5x² – 18 = 0 Действительно, (- 3)³ + 5 (- 3)² - 18 = 0.
Обратно, если l есть корень уравнения (1), то левая часть этого уравнения делится на х - l без остатка.
Пример. Число 2 является корнем уравнения x³ - 3x – 2 = 0 (2³ - 3•2 – 2 = 0) Следовательно, многочлен x³ - 3x – 2 = 0 делится на x – 2 без остатка. Действительно, (x³ - 3x – 2) : (x – 2) = x² + 2x + 1