Летом 1900 г. математики собрались на свой второй Международный конгресс в Париже. Немецкий математик,' профессор Геттингенского университета, Д. Гильберт был приглашен сделать один из основных докладов. Крупнейший математик мира, он прославился своими работами по алгебре и теории чисел, а незадолго перед конгрессом решительно перестроил аксиоматику евклидовой геометрии с учетом того нового, что узнали об аксиоматическом методе математики в XIX в. из его книги «Основания геометрии». После долгих колебаний Гильберт выбрал необычную форму доклада. Он решил сформулировать те проблемы, которые, по его мнению, должны определять развитие математики в наступающем веке.
Среди 23 проблем, поставленных Гильбертом, были как конкретные задачи, так и общие постановки задач, намечавшие пути развития больших направлений в математике. Так, третья проблема, решенная вскоре, ставила вопрос об эквивалентности понятий равновеликости и равносоставленности; десятая проблема была посвящена вопросам разрешимости диофантовых уравнений; в седьмой проблеме спрашивалось, будут ли рациональны числа 7: не"; двадцать третья проблема намечала пути развития вариационного исчисления, которое во второй половине XX в. выросло ©т области математики, занимающейся экстремальными геометрическими задачами, до большой современной науки 4 теории оптимального управления.
Исследования Гильберта оказали большое влияние на развитие многихотраслей математики, его деятельность в Геттннгенском университете в значительной мере содействовала тому, что Геттинген в первой трети XX в. становится одним из мировых центров математической мысли.
После конгресса интересы ученого обращаются к математическому анализу и, как всегда, он находит совершенно неожиданный ход: функции у него оказываются точками бесконечномерного пространства и аналитические результаты получаются на чисто геометрическом языке. Он решает знаменитую проблему Варинга из теории чисел, проблему возможности представления любого натурального числа в виде суммы степеней чисел: четырех квадратов, девяти кубов, девятнадцати четвертых степеней и т.д. К этому времени уже была доказана возможность представления числа в виде суммы четырех квадратов.
Значительные исследования были проведены Гильбертом в теории бесконечных множеств, где он также применяет аксиоматический метод построения теории.
В 1930 г., как и полагалось немецкому профессору в 68 лет, Гильберт уходит в отставку.
Но жизнь готовила Гильберту трагические последние годы. После прихода гитлеровцев к власти в Германии ученый до конца жизни прожил в Геттингене в стороне от университетских дел. «Математика в Геттингене? Да она просто не существует больше»- так ответил Гильберт на вопрос нацистского министра.